Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，求 f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2014）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{1}{2014}$）的值．

Answer 1

分析 由已知得f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，由此能求出f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2014）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{1}{2014}$）的值．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$+$\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{\frac{1}{{x}^{2}}+1}$=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}+\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2014）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{1}{2014}$）
=$\frac{1}{1+1}$+1×2013
=2013.5．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1的合理运用．