Question

12．如图，F₁，F₂为双曲线C的左右焦点，且|F₁F₂|=2．若双曲线C的右支上存在点P，使得PF₁⊥PF₂．设直线PF₂与y轴交于点A，且△APF₁的内切圆半径为$\frac{1}{2}$，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 本题先根据直角三角形内切圆半径得到边长的关系，结合双曲线定义和图形的对称性，求出a的值，由|F₁F₂|=2，求出c的值，从而得到双曲线的离心率，得到本题结论．

解答 解：由PF₁⊥PF₂，△APF₁的内切圆半径为$\frac{1}{2}$，
由圆的切线的性质：圆外一点引圆的切线所得切线长相等，
可得|PF₁|+|PA|-|AF₁|=2r=1，
由双曲线的定义可得|PF₂|+2a+|PA|-|AF₁|=1，
可得|AF₂|-|AF₁|=1-2a，
由图形的对称性知：|AF₂|=|AF₁|，
即有a=$\frac{1}{2}$．
又|F₁F₂|=2，
可得c=1，
则e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义、圆的切线的性质，以及图形的对称性，考查运算能力，属于中档题．