Question

【题目】如图所示的矩形ABCD中，AB=AD=2，点E为AD边上异于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．

(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；

(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）,2

【解析】

（1）取线段EF的中点M，得GM∥DF，由线面平行的判定定理可得GM∥平面BDF；（2）由题意可得AE与DE的夹角为60°，过D作DP垂直于AE交AE于P，可得DP为点D到平面ABFE的距离，设DE＝x，则AE＝BF＝4﹣x，利用等积法写出三棱锥G﹣BDF的体积，再由基本不等式求最值，并求出DE的长度

（1）取线段EF的中点M，有GM∥平面BDF．

证明如下：如图所示，取线段EF的中点M，

∵G为线段ED的中点，M为线段EF的中点，

∴GM为△EDF的中位线，故GM∥DF，

又GM平面BDF，DF平面BDF，故GM∥平面BDF；

（2）∵CF∥DE，且AE与CF的夹角为60°，故AE与DE的夹角为60°，即，

过D作DP⊥AE交AE于P，

由已知得DE⊥EF，AE⊥EF，∴EF⊥平面AED，

EF⊥DP,又AEEF=E,∴DP⊥平面AEFB，

即DP为点D到平面ABFE的距离，且，

设DE＝x，则AE＝BF＝4﹣x，

由（1）知GM∥DF，

，

当且仅当4﹣x＝x时等号成立，此时x＝DE＝2．

故三棱锥G﹣BDF的体积的最大值为，此时DE的长度为2．