已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A,B两点,且|AF|+|BF|=2,|AB|的最小值为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若圆x2+y2=的切线L与椭圆E相交于P,Q两点,当P,Q两点横坐标不相等时,OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
(1)+y2=1(2)垂直
【解析】(1)设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),F(c,0)(c2=a2-b2)
|AF|+|BF|=2a=2,∴a=.
又|AB|=?=2 ,0≤≤a2,
∴|AB|min=2b=2,∴b=1,∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)由题设条件可知直线L的斜率存在,设直线L的方程为y=kx+m.
∵直线L与圆x2+y2=相切,∴,
∴m2= (k2+1).
将y=kx+m代入+y2=1中得,
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=8(2k2+1-m2)>0.
令P(x1,y1),Q(x2,y2),x1≠x2,
则x1+x2=①,x1x2=②,
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=③.
∴·=x1x2+y1y2=+==0,
∴⊥,即OP与OQ垂直
科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮专题复习与测试选择填空限时训练1练习卷(解析版) 题型:选择题
已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作一条渐近线的垂线,垂足为A,△OAF的面积为a2(O为原点),则此双曲线的离心率是( )
A. B.2 C. D.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮专题复习与测试专题6第2课时练习卷(解析版) 题型:选择题
设X为随机变量,X~B ,若随机变量X的数学期望E(X)=2,则P(X=2)等于( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮专题复习与测试专题6第1课时练习卷(解析版) 题型:选择题
连续投掷两次骰子得到的点数分别为m,n,向量a=(m,n)与向量b=(1,0)的夹角记为α,则α∈的概率为( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮专题复习与测试专题5第2课时练习卷(解析版) 题型:填空题
已知圆C:x2+y2+6x+8y+21=0,抛物线y2=8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m,则m+|PC|的最小值为________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮专题复习与测试专题5第2课时练习卷(解析版) 题型:选择题
双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m= ( )
A. B. C.2 D.4
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮专题复习与测试专题4第3课时练习卷(解析版) 题型:解答题
如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=.
(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;
(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮专题复习与测试专题3第1课时练习卷(解析版) 题型:解答题
根据如图所示的程序框图,将输出的x,y值依次分别记为x1,x2,…,xk,…;y1,y2,…,yk,….
(1)分别求数列{xk}和{yk}的通项公式;
(2)令zk=xkyk,求数列{zk}的前k项和Tk,其中k∈N*,k≤2 007.
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