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已知椭圆E1(a>b>0)的右焦点为F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于AB两点,且|AF||BF|2|AB|的最小值为2.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若圆x2y2的切线L与椭圆E相交于PQ两点,当PQ两点横坐标不相等时,OP(O为坐标原点)OQ是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.

 

1y212垂直

【解析】(1)A(x0y0)B(x0,-y0)F(c,0)(c2a2b2)

|AF||BF|2a2a.

|AB|?2 0≤a2

|AB|min2b2b1椭圆E的方程为y21.

(2)由题设条件可知直线L的斜率存在,设直线L的方程为ykxm.

直线L与圆x2y2相切,

m2 (k21)

ykxm代入y21中得,

(12k2)x24kmx2m220Δ8(2k21m2)0.

P(x1y1)Q(x2y2)x1x2

x1x2x1x2

y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.

·x1x2y1y20

OPOQ垂直

 

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