Question

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
（Ⅰ）求sinC的值；
（II）设D为AC的中点，若△ABC的面积为8$\sqrt{5}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积和正玄定理得出sinB•cosA=sinA•cosB，根据三角公式得出A=B，根据诱导公式求解即可．
（2）利用面积公式，以及余弦定理求解即可．

解答 解：在△ABC中，∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$，
∴c•b•cosA=c•a•cosB，
即b•cosA=a•cosB，
sinB•cosA=sinA•cosB，
sin（A-B）=0，
∴A=B，
∵sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴sinC=sin（π-2A）=sin（2A）=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{5}}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．
（2）设AC=BC=m，
∵△ABC的面积为8$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}×{m}^{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{9}$=$8\sqrt{5}$，
m=3$\sqrt{2}$，cosC=$\frac{1}{9}$，
根据余弦定理得出：
BD²=m²$+\frac{{m}^{2}}{4}$$-2×m×\frac{m}{2}$×$\frac{1}{9}$=$\frac{41}{36}$m²=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{41}{2}}$
BD=$\frac{\sqrt{82}}{2}$．

点评 本题考查了向量数量积以及正弦定理和余弦定理的运用，在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的数学工具