Question

20．记数列{2n}的前n项和为a_n，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，数列{b_n}的通项公式为b_n=n-11，则b_nS_n的最小值为-6．

Answer 1

分析 利用裂项相消法计算可知S_n=1-$\frac{1}{n+1}$，进而可知b_nS_n=n+$\frac{12}{n+1}$-12，通过记f（x）=x+$\frac{12}{x+1}$，利用导数可知函数f（x）在区间（0，2$\sqrt{3}$-1）单调递减，在（2$\sqrt{3}$-1，+∞）上单调递增，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，a_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
则b_nS_n=（n-11）（1-$\frac{1}{n+1}$）=n+$\frac{12}{n+1}$-12，
记f（x）=x+$\frac{12}{x+1}$，则f′（x）=1-$\frac{12}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-11}{（x+1）^{2}}$，
令f′（x）=0，即x²+2x-11=0，解得：x=±2$\sqrt{3}$-1，
所以函数f（x）在区间（0，2$\sqrt{3}$-1）单调递减，在（2$\sqrt{3}$-1，+∞）上单调递增，
∵b₂S₂=2+4-12=-6，b₃S₃=3+3-12=-6，
∴b_nS_n的最小值为-6，
故答案为：-6．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，涉及利用导数研究函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．