Question

已知函数f(x)=2cos

x

2

(

3

cos

x

2

-sin

x

2

)，在△ABC中，AB=1，f(C)=

3

+1，且△ABC的面积为

3

2

，求sinA•sinB的值．

Answer 1

分析：利用乘法分配律将括号外边的乘到括号里边，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，由f（C）=

3

+1，将x=C代入得到的解析式中，整理后得到cos（C+

π

6

）的值，利用余弦函数的图象与性质及特殊角的三角函数值求出C的集合，由C为三角形的内角，得到C的度数，进而确定出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinC的值代入求出ab的值，再由AB，即c的长，利用正弦定理用a表示出sinA，用b表示出sinB，将sinA和sinB代入所求的式子中，再将ab的值代入即可求出值．

解答：解：f（x）=2cos

x

2

（

3

cos

x

2

-sin

x

2

）
=2

3

cos²

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

（1+cosx）-sinx
=

3

cosx-sinx+

3

=2cos（x+

π

6

）+

3

，
由f（C）=2cos（C+

π

6

）+

3

=

3

+1，得cos（C+

π

6

）=

1

2

，
∴C+

π

6

=2kπ±

π

3

（k∈Z），
又C∈（0，π），∴C=

π

6

，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

2

，∴ab=2

3

，
∵AB=c=1，sinC=

1

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
∴sinA=

a

2

，sinB=

b

2

，
则sinA•sinB=

ab

4

=

3

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的图象与性质，三角形的面积公式，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．