Question

已知函数f(x)=2sin(2x-

π

4

)+2

2

cos2x．
（1）若tanx=-

1

3

，且x∈(

π

2

，π)时，求：函数f（x）的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，求：函数f（x）的最大值与最小值；
（3）用“五点法”画出函数f（x）在[0，π]上的图象．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为

2

（sin2x+cos2x），由tanx=-

1

3

，且x∈(

π

2

，π)，求出 sinx和cosx 的值，再
利用二倍角公式可得sin2x和cos2x的值，即得f（x）的值．
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x+

π

4

)，若x∈[0，

π

2

]时，x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，当x+

π

4

=

π

2

 时，函数f（x）有最大值为2，当x+

π

4

=

5π

4

时，函数f（x）有最小值-

2

．
（3）函数f（x）的周期为π，列表，描点作图，即得所求．

解答：解：（1）f(x)=2sin(2x-

π

4

)+2

2

cos2x=

2

（sin2x+cos2x）． 由tanx=-

1

3

，且x∈(

π

2

，π)，
可得 sinx=

10

10

，cosx=

-3 10

10

，∴sin2x=2sinxcosx=-

3

5

，cos2x=2cos²x-1=

4

5

，
 所以：f(x)=

2

5

．
（2）由（1）得：f(x)=2sin(2x+

π

4

)，若x∈[0，

π

2

]时，x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴当x+

π

4

=

π

2

 时，函数f（x）有最大值为2，当x+

π

4

=

5π

4

时，函数f（x）有最小值为 2×

- 2

2

=-

2

．
（3）函数f（x）的周期为π，列表

2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
y	0	2	0	-2	0

如图：
 

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，求三角函数的最值，用五点法做出y=Asin（ωx+∅）在一个周期内的简图，
化简函数f（x）的解析式，是解题的突破口．