Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（1，0）处相切，
（1）求f（x）的解析式；　
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（-2）=3×（-2）²+2a×（-2）+b=0
∴12-4a+b=0 ①又f′（1）=3+2a+b=-3 ②，由①②解得a=1，b=-8
又f（x）过点（1，0），
∴1³+a×1²+b×1+c=0，∴c=6
所以f（x）的解析式为：f（x）=x³+x²-8x+6
（2）由（1）知：f（x）=x³+x²-8x+6，所以f′（x）=3x²+2x-8
令3x²+2x-8＜0解得，令3x²+2x-8＞0解得x＜-2，或
故f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（，+∞），
f（x）的单调递减区间为（-2，）
分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=-2处取得极值，所以f′（-2）=0，又因为函数与直线在点 （1，0 ）处相切，所以f′（1）=-3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．
（2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于0可求增、减区间．
点评：考本题查学生利用导数研究函数极值的能力，及会求二元一次方程组解集和一元二次不等式解集的能力，属中档题．