Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积；
（Ⅲ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析：（I）证明AE⊥BC，BF⊥AE，可证AE⊥平面BCE，由面面垂直的判定定理证明平面ADE⊥平面BCE；
（II）由（I）知AE⊥EB，又AE=EB=BC=2，AB=2

2

，取AB的中点O，连接OE，可证OE为四棱锥E-ABCD的高，OE=

2

，代入体积公式计算；
（III）线段CE上确定一点N，使EN=2NC，连接MN，过N作NG∥BC，交EB于G，连接MG，证明NG、MG分别平行于平面ADE，可得平面ADE∥平面MNG，由面面平行得MN∥平面ADE．

解答：解：（I）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，∴AE⊥BC，
又BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴BF⊥AE，
又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，AE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCE；
（II）由（I）知AE⊥EB，又AE=EB=BC=2，
∴AB=2

2

，取AB的中点O，连接OE，∴OE⊥AB，
∴OE为四棱锥E-ABCD的高，OE=

2

，
∴V_E-ABCD=

1

3

×2

2

×2×

2

=

8

3

；
（III）线段CE上确定一点N，使EN=2NC，连接MN，
过N作NG∥BC，交EB于G，连接MG，又AD∥BC，
∴NG∥AD，NG?平面ADE，AD?平面ADE
∴NG∥平面ADE，
∵EN=2NC，∴EG=2GB，又AM=2MB，
∴MG∥AE，AE?平面ADE，MG?平面ADE，
∴MG∥平面ADE，
又NG∩MG=G，
∴平面ADE∥平面MNG，MN?平面ADE，
∴MN∥平面ADE．

点评：本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定及棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，解答本题的关键是利用线线，线面，面面的平行、垂直关系的转化来证明平行、垂直关系．