Question

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（Ⅰ）求的极值点；
（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；
(Ⅲ）证明：当时，。

Answer 1

（Ⅰ）①时，， ∴在（－1，+∞）上是增函数，函数既无极大值点，也无极小值点；②当时，在上递增，在单调递减，函数的极大值点为－1，无极小值点；③当时，在上递减，在单调递增，函数的极小值点为－1，无极大值点；（Ⅱ）当时，方程有两解；(Ⅲ）详见解析．

解析试题分析：（Ⅰ）求的极值点，先求函数的定义域为，然后可对函数求导数得，令导数等零，求出的解，再利用导数大于0，导数小于0，判断函数的单调区间，从而确定极值点，但本题由于含有参数，需对讨论（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围，由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，而，由此可得实数t的取值范围；（Ⅲ）根据要证明当时，，直接证明比较困难，可以利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．
试题解析：（Ⅰ）（1分）
①时，， ∴在（－1，+∞）上是增函数，函数既无极大值点，也无极小值点。（2分）
②当时，在上递增，在单调递减，函数的极大值点为－1，无极小值点（3分）
③当时，在上递减，在单调递增，函数的极小值点为－1，无极大值点（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，
又，
∴，∴当时，方程有两解 （8分）
(Ⅲ）要证：只须证
只须证：，
设
则，（10分）
由（1）知在单调递减，（12分）
∴，即是减函数，而m>n，
∴，故原不等式成立。 （14分）
考点：不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．