Question

15．已知函数f（x）=sin²wx-sin²（wx-$\frac{π}{6}$）（x∈R，w为常数且$\frac{1}{2}$＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（$\frac{3}{5}$A）=$\frac{1}{4}$．求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；
（2）由f（$\frac{3}{5}$A）=$\frac{1}{4}$解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2ωx-[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos（2ωx-$\frac{π}{3}$）]=$\frac{1}{2}$cos（2ωx-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$cos2ωx=-$\frac{1}{4}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2ωx=$\frac{1}{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）．
令2ωx-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{3ω}+\frac{kπ}{2ω}$．∴f（x）的对称轴为x=$\frac{π}{3ω}+\frac{kπ}{2ω}$，
令$\frac{π}{3ω}+\frac{kπ}{2ω}$=π解得ω=$\frac{2+3k}{6}$．∵$\frac{1}{2}$＜w＜1，∴当k=1时，ω=$\frac{5}{6}$．
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{5}{3}}=\frac{6π}{5}$．
（2）∵f（$\frac{3}{5}A$）=$\frac{1}{2}$sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．∴A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-1}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．∴b²+c²=bc+1≥2bc，∴bc≤1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴△ABC面积的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，解三角形，属于中档题．