Question

6．某人的一串钥匙有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，当他随意地试用这串钥匙时，求：打开门时已被试用过的钥匙数的数学期望与方差，假定．
（1）把每次试用过的钥匙分开；
（2）把每次试用过的钥匙再混杂在这串钥匙中．

Answer 1

分析 （1）由已知得打开门时已被试用过的钥匙数X的可能取值为1，2，…，n，分别求出相应的概率，由此能求出打开门时已被试用过的钥匙数的数学期望与方差．
（2）由已知得打开门时已被试用过的钥匙数X的可能取值为1，2，…，n，分别求出相应的概率，由此能求出打开门时已被试用过的钥匙数的数学期望与方差．

解答 解：（1）由已知得打开门时已被试用过的钥匙数X的可能取值为1，2，…，n，
P（X=i）=$\frac{1}{n}$，i=0，1，2，…，n-1，
∴X的数学期望EX=（1+2+3+…+n）×$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{2}$，
EX²=$\sum_{i=1}^{n}$i²$•\frac{1}{n}$=$\frac{（n+1）（2n+1）}{6}$，
∴X的方差为DX=EX²-（EX）²=$\frac{{n}^{2}-1}{12}$．
（2）由已知得打开门时已被试用过的钥匙数X的可能取值为1，2，…，n，
P（X=k）=（$\frac{n-1}{n}$）^k-1$•\frac{1}{n}$，k=1，2，…
EX=$\sum_{k=1}^{∞}$k•$（\frac{n-1}{n}）^{k-1}$•$\frac{1}{n}$=n，
EX²=$\sum_{k=1}^{∞}{k}^{2}$•$（\frac{n-1}{n}）^{k-1}$•$\frac{1}{n}$=2n²-n，
DX=（EX）²-EX²=n（n-1）．

点评 本题考查离散型随机变量的数学期望与方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．