Question

14．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{2x-1，x＜0}\end{array}\right.$若不等式f（x-1）+f（$\frac{m}{x}$）＞0对任意x＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （$-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）
• B． （0，$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 由函数解析式判断出函数的奇偶性和单调性，把不等式f（x-1）+f（$\frac{m}{x}$）＞0对任意x＞0恒成立转化为$\frac{m}{x}＞1-x$对任意x＞0恒成立，分离参数m后利用配方法求出函数最值得答案．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{2x-1，x＜0}\end{array}\right.$，
设x＞0，则-x＜0，则f（-x）=-2x-1=-（2x+1）=-f（x），
设x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-2x+1=-（2x-1）=-f（x），
∴函数f（x）为定义域上的奇函数．
其图象如图：
由图可知，函数为定义域上的增函数，
由f（x-1）+f（$\frac{m}{x}$）＞0对任意x＞0恒成立，得
f（$\frac{m}{x}$）＞-f（x-1）=f（1-x）对任意x＞0恒成立，
即$\frac{m}{x}＞1-x$对任意x＞0恒成立，
∴m＞-x²+x对任意x＞0恒成立，
∵$-{x}^{2}+x=-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}≤\frac{1}{4}$（当x=$\frac{1}{2}$时取等号），
∴m$＞\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查分段函数的应用，考查了函数的单调性及奇偶性的性质，训练了恒成立问题的求解方法，考查了数学转化思想方法和分离变量法，属中档题．