Question

7．已知函数f（x）=（4x²+4ax+a²）$\sqrt{x}$，其中a＜0．
（1）当a=-4时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值；
（3）若f（x）在区间[1，4]上单调递减，试求a的范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-4时，先求导，根据导数大于0，解不等式求出f（x）的单调递增区间；
（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值；
（3）求出导数，令导数不大于0，可得减区间，再由题意可得有-$\frac{a}{10}$≤1＜4≤-$\frac{a}{2}$，解不等式即可得到所求范围．

解答 解；（1）当a=-4时，f（x）=（4x²-16x+16）$\sqrt{x}$，
∴f′（x）=（8x-16）$\sqrt{x}$+（4x²-16x+16）$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
=2$\sqrt{x}$（5x+$\frac{4}{x}$-12）=$\frac{2\sqrt{x}}{x}$（5x²-12x+4），
∵f′（x）＞0，x≥0，
∴5x²-12x+4＞0
解得，x＞2或0＜x＜$\frac{2}{5}$，
∴f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{2}{5}$），（2，+∞）；
（2）∵f（x）=（4x²+4ax+a²）$\sqrt{x}$，
∴f′（x）=$\frac{\sqrt{x}}{2x}$（20x²+12ax+a²），
令f′（x）=0．解得x=$\frac{-a}{10}$或$\frac{-a}{2}$，
当f′（x）＞0时，x在（0，$\frac{-a}{10}$），（$\frac{-a}{2}$，+∞）为单调递增，
当f′（x）＜0时，x在（$\frac{-a}{10}$，$\frac{-a}{2}$）上单调递减，
①当$\frac{-a}{10}$≥4，即a≤-40，f（x）在区间[1，4]为增函数，
由f（1）=8，解得a=-2±2$\sqrt{2}$，不符合舍去．
②当$\frac{-a}{2}$≤1，即-2≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]为增函数，
由f（1）=8，解得a=-2±2$\sqrt{2}$，不符合舍去．
③当$\frac{-a}{10}$≤1，且$\frac{-a}{2}$≥4，即-10≤a≤-8时，f（x）在区间[1，4]为减函数，
由f（4）=8，解得a=-10；
④当1＜$\frac{-a}{10}$＜4，即-40＜a＜-10时，由f（1）=8或f（4）=8，
解得，a=-2±2$\sqrt{2}$，或a=-6，a=-10，不符合舍去，
⑤当1＜$\frac{-a}{2}$＜4，即-8＜a＜-4时，由f（-$\frac{a}{2}$）=8，无解．
综上所述，a=-10；
（3）由f（x）的导数为f′（x）=$\frac{\sqrt{x}}{2x}$（20x²+12ax+a²），
令f′（x）≤0，可得-$\frac{a}{10}$≤x≤-$\frac{a}{2}$，
由题意可得[1，4]⊆[-$\frac{a}{10}$，-$\frac{a}{2}$]，
即有-$\frac{a}{10}$≤1＜4≤-$\frac{a}{2}$，
解得-10≤a≤-8．

点评 本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题．