Question

13．已知函数f（x）=alnx+x²+（a-6）x在（0，3）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 求导，求出函数是单调函数时，实数a的取值范围，再求补集．

解答 解：函数f′（x）=$\frac{a}{x}+2x$+a-6．
①若函数f（x）=alnx+x²+（a-6）x在（0，3）上单调递增，
则f′（x）=$\frac{a}{x}+2x$+a-6≥0在（0，3）上恒成立，
即a≥$\frac{6x-2{x}^{2}}{x+1}$=-2[（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-5]在（0，3）上恒成立，
函数g（t）=t+$\frac{4}{t}$，t∈（1，4），g（t）∈[4，5），∴a≥2；
②若函数f（x）=alnx+x²+（a-6）x在（0，3）上单调递减，
则f′（x）=$\frac{a}{x}+2x$+a-6≤0在（0，3）上恒成立，
即a≤$\frac{6x-2{x}^{2}}{x+1}$=-2[（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-5]在（0，3）上恒成立，
函数g（t）=t+$\frac{4}{t}$，t∈（1，4），g（t）∈[4，5），∴a≤0．
则函数f（x 在（0，3）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（0，2）
故答案为（0，2）

点评 本题的考点是利用导数研究函数的单调性，对于参数问题要注意进行分类讨论．属于中档题．