Question

设函数f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函数（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）判断f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的定义得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，由此可求得c值，由f（1）=2，f（2）＜3及a，b为整数可求得a，b；
（2）设x₁＜x₂≤-1，通过作差可判断f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义可作出判断；

解答：解：（1）由f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函数，
得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，
则

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

，
即-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，
∴c=0，
由

f(1)=2 f(2)＜3

，得

a+1 b =2① 4a+1 2b ＜3②

，
由①得a=2b-1，代入②得

2b-3

2b

＜0，
∴0＜b＜

3

2

，
又a，b，c是整数，
得b=1，此时a=2-1=1．
（2）由（1）知，f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

在（-∞，-1]上单调递增．
证明：设x₁＜x₂≤-1，
则f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-（x2+

1

x2

）
=x₁-x₂+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．

点评：本题考查函数奇偶性的性质、函数单调性的判断，定义是解决函数奇偶性、单调性问题的基本方法，要熟练掌握．