Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ） 求三棱锥A-BDE的体积；
（Ⅱ） 求证：B₁D₁⊥AE；
（Ⅲ） 求证：AC∥平面B₁DE．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵EC⊥平面ABD，
∴V=CE．S_ABD=…4分
证明：（Ⅱ）连接A₁C₁，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥CC₁，A₁C₁∩CC₁=C₁
∴B₁D₁⊥面A₁C₁CA，
AE?面A₁C₁CA
∴B₁D₁⊥AE…8分
（Ⅲ）证法一：连接AC₁，取AC₁的中点为H，取AC的中点O，连接HO，
∵HO∥EC且HO=EC
∴四边形HOCE为平行四边形，OC∥HE即AC∥HE---------13’
连接BD₁，易知四边形A₁BCD₁为平行四边形，则H为BD₁和A₁C的交点
∴HE?平面B₁DE
AC?平面B₁DE
AC∥平面B₁DE…12分
证法二：延长BC与B₁E延长线交于F，连DF∵E为棱CC₁中点
∴△B₁C₁E≌△FCE
∴CF=C₁B₁=CB
∴CF∥AD且CF=AD
∴ADFC为平行四边形
∴AC∥DF∵AC?平面B₁DE
DF?平面B₁DE
∴AC∥平面B₁DE…12分．
分析：（I）根据正方体的几何特征，我们易得三棱锥A-BDE的体积等于三棱锥E-ABD，根据已知中正方体的棱长AA₁=2，E为棱CC₁的中点，求分三棱锥的底面积和高，即可得到三棱锥A-BDE的体积；
（Ⅱ） 连接A₁C₁，根据正方形对角线互相平分可得B₁D₁⊥A₁C₁，由正方体的几何特征可得B₁D₁⊥CC₁，进而由线面垂直的判定定理得到B₁D₁⊥面A₁C₁CA，再由线面垂直的性质定理得到B₁D₁⊥AE；
（Ⅲ） 证法一：连接AC₁，取AC₁的中点为H，取AC的中点O，连接HO，根据平行四边形判定定理可得四边形HOCE为平行四边形，则AC∥HE，进而根据线面平行的判定定理得到AC∥平面B₁DE；
证法二：延长BC与B₁E延长线交于F，连DF，根据三角形全等的判定定理可得△B₁C₁E≌△FCE，进而证得ADFC为平行四边形，则AC∥DF，进而根据线面平行的判定定理得到AC∥平面B₁DE．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，（I）的关键是利用等体积法，将求三棱锥A-BDE的体积转化为求三棱锥E-ABD，（II）的关键是熟练掌握线面垂直的判定及性质定理，（III）的关键是在平面内找到与AC平行的直线，创造使用线面平行判定定理的条件．