Question

19．已知函数f（x）=2$\sqrt{2}$cosxsin（x-$\frac{π}{4}$）+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值与最小值的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两角差的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简，即可得到最小正周期．
（Ⅱ）由f（x）可确定单调增区间，由单调性找到最值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{2}$cosxsin（x-$\frac{π}{4}$）+1=2sinxcosx-2cos²x+1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期为T=π．
（Ⅱ）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$时，即-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，（k∈Z）
∴f（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上单调递增，
∴f（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值为f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
最小值为f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
∴最大值与最小值的和为0．

点评 本题考查两角差的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式，单调区间找最值．