Question

求下列函数的定义域、值域和单调区间：

⑴；⑵（且）.

Answer 1

解：⑴①原函数的定义域是；②由，得，

，∴，∴，∴原函数的值域是；

③∵，

又当，

从而；

当，

从而。

⑵①定义域为，即：；

②令，

由二次函数的图像可知（图像略），故原函数的值域为；

③当时，由上单调递增，可得：原函数的单调性与u的单调性一致，∴原函数的单调增区间为（3，+∞），单调减区间为（－∞，2）；

      当时，由上单调递减，可得：原函数的单调性与u的单调性相反，∴原函数的单调增区间为（－∞，2），单调减区间为（3，+∞）。

说明：①求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。

②求复合函数的单调区间或最值，若为增函数，则与增减性相同；若为减函数，则与的增减性相反；这一结论非常有用，称为“外增内同，外减内反”；对数函数的单调性要注意其定义域。