Question

9．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₂-x₁＞ln2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论t的范围，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数y=f（x）+g（x）的导数，问题转化为a＞G（x）_min=G（$\frac{1}{2}$）=ln2时x₁，x₂存在，从而求出a的范围．

解答 解：（1）由题意得：令f′（x）=lnx+1=0，解得：x=$\frac{1}{e}$，
①当0＜t＜$\frac{1}{e}$时，函数f（x）在（t，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，t+2）上单调递增，
此时函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值为f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
②当t≥$\frac{1}{e}$时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，
此时函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值为f（t）=tlnt；
（2）由题意得：y=f（x）+g（x）=xlnx-x²+ax-2，
∴y′=lnx-2x+1+a，
由题意得：y′=0有两个不同实根x₁，x₂，
等价于a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x₁，x₂，
等价于：直线y=a与函数G（x）=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点，
由G′（x）=-$\frac{1}{x}$+2，已知G（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）单调递增，
∴当a＞G（x）_min=G（$\frac{1}{2}$）=ln2时x₁，x₂存在，
且x₂-x₁的值随着a的增大而增大，
而当x₂-x₁=ln2时，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{l{nx}_{1}-{2x}_{1}+1+a=0}\\{l{nx}_{2}-{2x}_{2}+1+a=0}\end{array}\right.$，
两根相减可得ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=2（x₂-x₁）=2ln2，
得x₂=4x₁，代入上述方程组解得：x₂=4x₁=$\frac{4}{3}$ln2，
此时实数a=$\frac{2}{3}$ln2-ln（$\frac{ln2}{3}$）-1，
∴a的取值范围为（$\frac{2}{3}$ln2-ln（$\frac{ln2}{3}$）-1，+∞）．

点评 不同考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道难题．