Question

17．已知函数f（x）=2x³-ax与g（x）=bx²+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有公共切线，求f（x）、g（x）的表达式．

Answer 1

分析 把点 P（2，0）代入f（x）求出a的值，求出f（x）和f′（x），把点 P（2，0）代入g（x）列出方程，根据导数的几何意义列出方程，再求出b、c的值．

解答 解：∵f（x）=2x³-ax 的图象过点 P（2，0），
∴16-2a=0，解得a=8．…（4分）
∴f（x）=2x³-8x  …（5分）
∴f′（x）=6x²-8．…（6分）
∵g（x）=bx²+c 的图象也过点 P（2，0），
∴4b+c=0．…（7分）
又∵g′（x）=2bx，且在点P处有公共切线，
∴4b=g′（2）=f′（2）=16，解得b=4．…（10分）
代入4b+c=0，解得c=-16．…（13分）
∴g（x）=4x²-16．
综上所述，f（x）=2x³-8x，g（x）=4x²-16．…（14分）

点评 本题考查导数的几何意义，以及方程思想，属于基础题．