Question

【题目】已知椭圆C的方程为： =1（a＞0），其焦点在x轴上，离心率e= ．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x0 ， y0）满足 ，其中O为坐标原点，M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣ ，求证：x02+2y02为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，b2=2，解得 ，故椭圆的标准方程为
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由 ，得（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），

即x0=x1+2x2，y0=y1+2y2，

∵点M，N在椭圆 上，

∴

设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知， ，

∴x1x2+2y1y2=0，

故

= ，

即 （定值）

（3）证明：由（2）知点P是椭圆 上的点，

∵ ，

∴该椭圆的左右焦点 满足 为定值，

因此存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值

【解析】（1）根据椭圆焦点在x轴上，离心率 ，即可求出椭圆的标准方程；（2）假设M，N的坐标，利用向量条件寻找坐标之间的关系，结合点M，N在椭圆 上，即可证明 为定值；（3）由（2）知点P是椭圆 上的点，根据椭圆的定义可得该椭圆的左右焦点满足|PA|+|PB|为定值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．