Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为 ，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△AMN的面积为 时，求k的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为 ，
∴
∴b=
∴椭圆C的方程为 ；
（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立 ，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0
设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），则x1+x2= ，
∴|MN|= =
∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为
∴△AMN的面积S=
∵△AMN的面积为 ，
∴
∴k=±1
【解析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为 ，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立 ，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为 ，可求k的值．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．