【题目】已知幂函数f(x)=x(2﹣k)(1+k)(k∈Z),且f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;
(2)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1﹣qf(x)+(2q﹣1)x在区间[﹣1,2]上的值域为[﹣4, ].若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:因为幂函数f(x)=x(2﹣k)(1﹣k)在(0,+∞)上单调递增,
所以(2﹣k)(1+k)>0,故﹣1<k<2.
又因为k∈Z,故k=0,或k=1,所以f(x)=x2
(2)解:由(1)知g(x)=﹣qx2+(2q﹣1)x+1,
假设存在这样的正数q符合题意,
则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,
其对称轴为x= =1﹣
<1,
因而,函数g(x)在[﹣1,2]上的最小值只能在x=﹣1或x=2处取得
又g(2)=﹣4q+4q﹣2+1=﹣1≠﹣4,从而必有g(﹣1)=2﹣3q=﹣4
解得q=2,
此时,g(x)=﹣2x2+3x+1,其对称轴x= ∈[﹣1,2]
∴g(x)在[﹣1,2]上的最大值为g( )=﹣2×(
)2+3×
+1=
符合题意
【解析】(1)由f(2)<f(3)知幂函数在(0,+∞)上为增函数,故(2﹣k)(1+k)>0,解出k即可.(2)写出g(x)的解析式g(x)=﹣qx2+(2q﹣1)x+1,为二次函数,只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可.
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【题目】已知数列{an}为等差数列,且a1=1.{bn}为等比数列,数列{an+bn}的前三项依次为3,7,13.求
(1)数列{an},{bn}的通项公式;
(2)数列{an+bn}的前n项和Sn .
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【题目】已知数列{an}满足:an≠0,a1= ,an﹣an+1=2anan+1 . (n∈N*).
(1)求证:{ }是等差数列,并求出an;
(2)证明:a1a2+a2a3+…+anan+1< .
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的一个长轴顶点为A(2,0),离心率为
,直线y=k(x﹣1)与椭圆C交于不同的两点M,N,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当△AMN的面积为 时,求k的值.
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【题目】已知椭圆的右焦点
,椭圆
的左,右顶点分别为
.过点
的直线
与椭圆交于
两点,且
的面积是
的面积的3倍.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若与
轴垂直,
是椭圆
上位于直线
两侧的动点,且满足
,试问直线
的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明:MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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