Question

【题目】已知幂函数f（x）=x（2﹣k）（1+k）（k∈Z），且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在区间[﹣1，2]上的值域为[﹣4， ]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为幂函数f（x）=x（2﹣k）（1﹣k）在（0，+∞）上单调递增，

所以（2﹣k）（1+k）＞0，故﹣1＜k＜2．

又因为k∈Z，故k=0，或k=1，所以f（x）=x2

（2）解：由（1）知g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，

假设存在这样的正数q符合题意，

则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，

其对称轴为x= =1﹣ ＜1，

因而，函数g（x）在[﹣1，2]上的最小值只能在x=﹣1或x=2处取得

又g（2）=﹣4q+4q﹣2+1=﹣1≠﹣4，从而必有g（﹣1）=2﹣3q=﹣4

解得q=2，

此时，g（x）=﹣2x2+3x+1，其对称轴x= ∈[﹣1，2]

∴g（x）在[﹣1，2]上的最大值为g（ ）=﹣2×（ ）2+3× +1= 符合题意

【解析】（1）由f（2）＜f（3）知幂函数在（0，+∞）上为增函数，故（2﹣k）（1+k）＞0，解出k即可．（2）写出g（x）的解析式g（x）=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可．