Question

20．已知F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{100}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点
（1）∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求△F₁PF₂的面积
（2）求|PF₁||PF₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义，结合余弦定理和正弦定理求出△F₁PF₂的面积；
（2）根据椭圆的定义，结合基本不等式，求出|PF₁||PF₂|的最大值．

解答 解：（1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
根据椭圆的定义得m+n=20；
在△F₁PF₂中，由余弦定理得即m²+n²-2mn•cos$\frac{π}{3}$=12²；
∴m²+n²-mn=144，即（m+n）²-3mn=144；
∴20²-3mn=144，即mn=$\frac{256}{3}$；
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$mn•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$；
（2）m+n=20≥2$\sqrt{mn}$，
∴mn≤（$\frac{m+n}{2}$）²=100，
当且仅当m=n=10时，等号成立；
∴|PF₁|PF₂|的最大值为100．

点评 本题考查了椭圆的定义与几何性质的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．