Question

【题目】定义域为的函数满足：对于任意的实数都有 成立，且当时，．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明在上为减函数；

（Ⅲ）若，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）为奇函数，证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ）根据题意，令，求出，令，代入化简即可得到从而判断函数的奇偶性. （Ⅱ）根据单调性的定义，任取且，做差，根据题意化简判断即可. （Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）问的结论可知，为奇且减，所以将所求变形可得，进而得到，求解即可得到的范围.

（Ⅰ）令，则,

令，则 且，，且定义域为

为奇函数.

（Ⅱ）任取且，，

，,

,

上为减函数.

（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）问的结论可知，为奇且减，

， ，

上为减函数, ,

实数的取值范围为 .