Question

【题目】已知函数，其中．

（1）当时，求的最大值和最小值；

（2）当时，证明：在上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为），且为定值．

Answer 1

【答案】（1）的最大值为，最小值为.（2）见解析

【解析】

（1）当时，根据函数为奇函数，利用导数研究当时函数的单调性，由此求得函数在上的单调性，进而求得最大值和最小值.（2）①将写成分段函数的形式，当利用导数求得函数有一个极大值点和一个极小值点，当时，函数单调递增，没有极值点.由此证得结论成立. ②根据①的结论，写出关于极值点的韦达定理，计算出为定值.

（1）当时，是奇函数，

考虑，，

求导得，

当时，，当时，

所以在单调递减，单调递增，

又根据奇函数的对称性，

可知在单调递减，和单调递增

，，

所以的最大值为，最小值为.

（2）①当时，

当时，，，

，

所以在有2个根，，

其中，，则在和单调递增，在

又在单调递增，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增

所以在上有且仅有一个极大值点和一个极小值点

②因为是方程的两个根，

所以，

又，

所以为定值.