Question

【题目】在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形， ．

（1）求证：平面PBD：

（2）设E为侧棱PC上异于端点的一点，，试确定的值，使得二面角E-BD-P的余弦值为．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）以D为原点建立空间直角坐标系，利用推出，结合可证明线面垂直；（2）设，由用表示出点E的坐标，从而求出平面EBD的一个法向量，代入即可求得.

（1）证明：因为侧面底面ABCD，，

所以底面ABCD，所以．

又因为，即，

因此可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

所以，所以．

由底面ABCD，可得，

又因为，所以平面．

（2）因为，又，

设，则，

所以．设平面EBD的法向量为，

因为，由，得，

令，则可得平面EBD的一个法向量为，

，，，

代入，化简得，解得或，

又由题意知，故．