Question

【题目】平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

（ⅰ）求证：点M在定直线上;

（ⅱ）直线与y轴交于点G，记△的面积为，△的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（Ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（Ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标.

试题解析：

（Ⅰ）由题意知，可得：.

因为抛物线的焦点为，所以，

所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）（Ⅰ）设，由可得，

所以直线的斜率为，

因此直线的方程为，即.

设，联立方程

得，

由，得且，

因此,

将其代入得，

因为，所以直线方程为.

联立方程，得点的纵坐标为，

即点在定直线上.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线方程为，

令得，所以，

又，

所以，

，

所以，

令，则，

当，即时，取得最大值，此时，满足，

所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.