Question

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）当a=2时，求y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，因为在函数式中含字母系数a，要对a分类讨论．

解答：解：f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

（x＞0）
（1）当a=2时，y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是k=-1，而f（1）=1
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-1=-1（x-1），即x+y-3=0；
（2）令f′（x）=0，解得x=a
①当a≤0时，f′（x）=

x-a

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
②当a＞0时，令f′（x）=

x-a

x

＞0，则x＞a，
故在区间（a，+∞）内f′（x）＞0，在区间（0，a）内f′（x）＜0．
∴当a＞0时，f（x）在（a，+∞）上为增函数，在（0，a）上为减函数；
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．