Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn =

3

2

(an -1)，n∈N+．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a_n，求数列{a_nb_n}的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）因为Sn =

3

2

(an -1)，n∈N+，所以Sn+1  =

3

2

(an+1  -1)．
两式相减，得Sn+1 -Sn =

3

2

(an+1 -an )；，即an+1 =

3

2

(an+1 -an )
∴a_n+1=3a_n，n∈N₊．
又s1 =

2

3

(a1 -1)；，即a1 =

3

2

(a1 -1)；，所以a₁=3．
∴{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列．从而{a_n}的通项公式是{a_n=3ⁿ，n∈N₊；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=log₃a_n=n，设数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，
则T_n=1×3+2×3²+3×3³++n•3ⁿ，3T_n
=1×3²+2×3³+3×3⁴++（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
两式相减得-2T_n=1×3+1×3²+1×3³++1×3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3

2

(3n-1)-n•3n+1，
所以Tn=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

．