Question

13．已知向量$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}cosx，-1}），\overrightarrow n=（{sinx，{{cos}^2}x}）$，函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{1}{2}$．
（1）若$x∈[{0，\frac{π}{4}}]，f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求cos2x的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足$2bcosA≤2c-\sqrt{3}a$，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（{2x-\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，从而可得$cos（{2x-\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，从而解得；
（2）化简可得$2b•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}≤2c-\sqrt{3}a$${a^2}+{c^2}-{b^2}≥\sqrt{3}ac$，从而可得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2bc}≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，从而解得．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（{2x-\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$，
$又∵sin（2x-\frac{π}{6}）＞0$，
∴$cos（{2x-\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴$cos2x=cos[{（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{π}{6}}]$
=$cos（{2x-\frac{π}{6}}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-sin（{2x-\frac{π}{6}}）×\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$；
（2）由$2bcosA≤2c-\sqrt{3}a$得，
$2b•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}≤2c-\sqrt{3}a$${a^2}+{c^2}-{b^2}≥\sqrt{3}ac$，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2bc}≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$0＜B≤\frac{π}{6}$，
∴$-\frac{π}{6}＜2B-\frac{π}{6}≤\frac{π}{6}$，
故$f（B）=sin（{2B-\frac{π}{6}}）∈（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$．

点评 本题考查了三角恒等变换、三角函数求值及解三角形，考查了学生的化简运算能力．