Question

已知f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1-log_an，1-log_am]，若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（ I）由

x+1

x-1

＞0求得函数f（x）的定义域关于原点对称，再根据f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（ II）任取1＜x₁＜x₂，证得 

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

，可得当a＞1时，loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

，故f（x₁）＞
f（x₂），函数f（x）在区间（1+∞）上单调递减．同理可证：当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调递增．
（ III）假设存在实数a满足题目条件，由题意得1＜m＜n，a＞1．由（ II）根据函数f（x）的单调性可得

f(m)=1-logam f(n)=1-logan

，化简可得

m2+(1-a)m+a=0 n2+(1-a)n+a=0

，m和n是方程x²+（1-a）x+a=0的两个根，故有

△=(1-a)2-a＞0 - 1-a 2 ＞1 1+(1-a)+a＞0

，由此解得a的范围．

解答：解：（ I）由

x+1

x-1

＞0得：x＜-1，或x＞1，所以，函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
又 f（-x）=log_a

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

=-loga

x+1

x-1

=-f（x），∴f（x）为奇函数．
（ II）任取1＜x₁＜x₂，则 x₁-x₂＜0．
因为

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x 2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，所以

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

，当a＞1时，
所以，loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

，故f（x₁）＞f（x₂），所以，函数f（x）在区间（1+∞）上单调递减．
同理可证：当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调递增．
（ III）假设存在实数a满足题目条件，由题意得：m＞0，n＞0，又[m，n]⊆（-∞，-1）∪（1，+∞），∴1＜m＜n．
又 1-log_an1-log_am，log_am＞log_an，∴a＞1．
故由（ II）得：函数f（x）在区（1，+∞）上单调递减，故函数f（x）在区[m，n]上单调递减．
故

f(m)=1-logam f(n)=1-logan

，即

loga m+1 m-1 =1-logam loga n+1 n-1 =1-logan

，化简可得

m2+(1-a)m+a=0 n2+(1-a)n+a=0

，
∴m和n是方程x²+（1-a）x+a=0的两个根，∴

△=(1-a)2-a＞0 - 1-a 2 ＞1 1+(1-a)+a＞0

，解得a＞3+2

2

．
再根据a＞1，可得a＞3+2

2

．
综上，满足条件的实数a存在，且a的范围（3+2

2

，+∞）．

点评：本题主要考查函数的定义域和值域，函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．