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    若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为
    		21
    3
    		21
    3
    ．
    分析：作出示意图，可得外接球的球心是上下底面的中心的连线，结合等边△ABC的性质求出AO1的长，在Rt△O1OA利用勾股定理，可计算出外接球的半径R．
    解答：解：设正三棱柱上下底面的中心分别为O1、O2，则外接球的球心是O1O2的中点O
    Rt△O1OA中，O1O=
    1
    2
    ×2=1，AO1=
    2
    3
    ×
    		3
    2
    ×2=
    2
    		3
    3

    ∴AO=
    		AO12+O1O2
    =
    		21
    3
    ，即外接球的半径R=
    		21
    3

    故答案为：
    		21
    3
    点评：本题给出所有棱长均相等的正三棱柱，求它的外接球半径，着重考查了球内接多面体的性质，考查了空间想象能力，属于基础题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （04年上海卷）(16分)

    如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

    (1)     证明：P-ABC为正四面体；

    (2)     若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)

    (3)     设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直

    平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造

    出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

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    科目：高中数学 来源：2014届广东实验中学高二上学期期中理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分14分）

    如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

    （1）求证：P-ABC为正四面体；

    （2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。

    （3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

    （1）证明：P-ABC为正四面体；

    （2）若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）

    （3）设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,

    使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年河南省洛阳一高高三（下）数学测试卷（解析版） 题型：填空题

    若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为    ．

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