Question

根据国际公法，外国船只不得进入离我国海岸线12海里以内的区域（此为我国领海，含分界线）．若外国船只进入我国领海，我方将向其发出警告令其退出．如图，已知直线AB为海岸线，A，B是相距12海里的两个观测站，现发现一外国船只航行于点P处，此时我方测得∠BAP=α，∠ABP=β（0＜α＜π，0＜β＜π）．
（1）试问当α=30°，β=120°时，我方是否应向该外国船只发出警告？
（2）若tanα=

1

2

，则当β在什么范围内时，我方应向该外国船只发出警告？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）过P作PH垂直AB于H，先根据已知求得∠APB，进而求得AB，进而表示出PH与12进行比较．
（2）先由正弦定理求得PB的表达式，进而取得PH的表达式，令PH≤12，求得β的范围．

解答： 解：（1）如图：过P作PH垂直AB于H，因为α=30°，β=120°，

所以∠APB=30°，所以AB=PB=12，
所以PH=ABsin60°=6

3

＜12，
所以应向该外国船只发出警告．
（2）在△ABP中，由正弦定理得：

AB

sin(π-α-β)

=

PB

sinα

，
所以PB=

12sinα

sin(π-α-β)

，
所以PH=PB•sin(π-β)=

12sinαsinβ

sin(π-α-β)

=

12sinαsinβ

sin(α+β)

，
令PH≤12，得

12sinαsinβ

sin(α+β)

≤12，即sinαsinβ≤sin（α+β），
所以sinαsinβ≤sinαcosβ+cosαsinβ，
又因为tanα=

1

2

，所以α为锐角，且sinα=

5

5

，cosα=

2 5

5

，
所以

5

5

sinβ≤

5

5

cosβ+

2 5

5

sinβ，即sinβ≥-cosβ，
故sinβ+cosβ≥0，即

2

sin(β+

π

4

)≥0，解得0＜β≤

3π

4

，
所以当0＜β≤

3π

4

时，我方应向该外国船只发出警告．

点评：本题主要考查了解三角形问题的实际应用．解题的关键时把文字描述语言转化成数学模型．