Question

已知直线l₁的方程为x-

2

y+1=0，其倾斜角为α．过点P（-

2

，2）的直线l的倾斜角为β，且β=2α．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）

cos2β

1+cos2β-sin2β

的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,直线的点斜式方程

专题：三角函数的求值

分析：（1）由直线斜率与倾斜角的关系，根据直线l₁的方程求出tanα的值，再由β=2α，利用二倍角的正切函数公式求出tanβ的值，确定出直线l斜率，进而确定出直线l方程；
（2）原式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间基本关系化简，将tanβ的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）由l₁的方程得tanα=

2

2

，
又β=2α，∴tanβ=

2tanα

1-tan2α

=

2× 2 2

1-( 2 2 )2

=2

2

，
∴直线l的斜率k=tanβ=2

2

，
由点斜式得l的方程为：y-2=2

2

（x+

2

），
化为一般方程：2

2

x-y+6=0；
（2）∵tanβ=2

2

，
∴

cos2β

1+cos2β-sin2β

=

cos2β-sin2β

2cos2β-2sinβcosβ

=

(cosβ+sinβ)(cosβ-sinβ)

2cosβ(cosβ-sinβ)

=

cosβ+sinβ

2cosβ

=

1+tanβ

2

=

1+2 2

2

=

1

2

+

2

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及直线的点斜式方程，熟练掌握基本关系是解本题的关键．