Question

数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

n2an+an2

an2+2an-n

+1，n∈N^*．
（Ⅰ）写出a₂，a₃，a₄，猜想通项公式a_n，用数学归纳法证明你的猜想；
（Ⅱ）求证：

a 1a2

+

a2a3

+…+

ana n+1

＜

1

2

（a_n+1）²，n∈N^*．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用递推公式能求出a₂=2，a₃=3，a₄=4，由此猜想a_n=n，再用数学归纳法证明．
（Ⅱ）a_n=n，知证明

a 1a2

+

a2a3

+…+

ana n+1

＜

1

2

（a_n+1）²，n∈N^*．即证

1×2

+

2×3

+…+

n×(n+1)

＜

1

2

(n+1)2，由此利用均值定理能求出来．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

n2an+an2

an2+2an-n

+1，n∈N^*．
∴a₂=

1+1

1+2-1

+1=2，
a₃=

4×2+4

4+4-2

+1=3，
a₄=

9×3+9

9+6-3

+1=4，猜想a_n=n
证明：①当n=1时，a₁=1，猜想成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_k=k
那么，ak+1=

k2•k+k2

k2+2k-k

+1=k+1，
∴当n=k+1时猜想也成立
由①②可知猜想对任意n∈N^*都成立，即a_n=n
（Ⅱ）证明：∵a_n=n，
证明

a 1a2

+

a2a3

+…+

ana n+1

＜

1

2

（a_n+1）²，n∈N^*．
即证

1×2

+

2×3

+…+

n×(n+1)

＜

1

2

(n+1)2
由均值不等式知：

n×(n+1)

＜

n+n+1

2

=n+

1

2

，
则

1×2

+

2×3

+…+

n×(n+1)

＜(1+2+…+n)+

n

2

=

n(n+1)

2

+

n

2

=

n(n+2)

2

＜

1

2

(n+1)2．
∴

a 1a2

+

a2a3

+…+

ana n+1

＜

1

2

（a_n+1）²，n∈N^*．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．