Question

已知直线l：y=kx与圆C₁：（x-1）²+y²=1相交于A、B两点，圆C₂与圆C₁相外切，且与直线l相切于点M（3，

3

），求
（1）k的值
（2）|AB|的值
（3）圆C₂的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）点M在直线上，即可求出k的值；
（2）求出圆心到直线有距离，即可求出|AB|；
（3）利用圆C₁与圆C₂相切，可得

(m-3)2+3(m-4)2

=1+2|m-3|，分类讨论，即可求出圆C₂的方程．

解答： 解：（1）由题意知，点M在直线上，所以k=

3

3

（2分）
（2）圆心到直线有距离d=

|1- 3 ×0|

12+(- 3 )2

=

1

2

，于是|AB|=2

r2-d2

=

3

（4分）
（3）设所求的圆心的坐标为C₂（m，n），半径为R．
由题意知C2M⊥l，则kC2M•kl=-1，即n=-

3

m+4

3

，从而R=C₂M=2|m-3|，（8分）
又圆C₁与圆C₂相切，则C1C2=

(m-1)2+n2

=1+R，
即：

(m-3)2+3(m-4)2

=1+2|m-3|
（A）当m≥3时解得：m=4，n=0，R=2，则圆C₂的方程为：（x-4）²+y²=4
（B）当m，3时解得：m=0，n=4

3

，R=6，则圆C₂的方程为：x2+(y-4

3

)2=36
所以所求圆的方程为：（x-4）²+y²=4，x2+(y-4

3

)2=36（14分）

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．