Question

设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围；
（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，令f′（x）=0可得极值点，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间；根据导数符号变化情况可判断极值并可求解；
（2）由（1）作出函数的草图，由图象可得a的范围；
（3）x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）可化为x²+x-5≥k，令g（x）=x²+x-5，由二次函数的性质可求g（x）的最小值，从而可得k的范围；

解答： 解：（1）f′(x)=3(x2-2)，令f′(x)=0，得x1=-

2

，x2=

2

，
∴当x＜-

2

或x＞

2

时，f′(x)＞0；当-

2

＜x＜

2

时，f′(x)＜0，
∴f（x）的单调递增区间是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，单调递减区间是(-

2

，

2

)；
当x=-

2

，f(x)有极大值5+4

2

；当x=

2

，f(x)有极小值5-4

2

．
（2）由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图所示：
∴当5-4

2

＜a＜5+4

2

时，直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点；
（3）f（x）≥k（x-1）即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1），
∵x∈（1，+∞）上恒成立，∴x²+x-5≥k，
令g（x）=x²+x-5，由二次函数的性质，g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（1）=-3，
∴所求k的取值范围是k≤-3．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查函数恒成立，考查数形结合思想，考查学生解决问题的能力，恒成立问题常转化为函数最值解决．