Question

如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，已知∠ABC＝，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，M、N分别为B1C1，和AC的中点． (1) 求异面直线至AB1与BC1所成的角的大小 (2) 求MN的长 (3) 求MN与底面ABC所成的角的大小

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：方法一　以B为原点，BA、BC、BB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 　　由题设知，A、B1、C1的坐标为(a，0，0)、(0，0，c)、(0，b，c)，则=(－a，0，c)，=(0，b，c)， 　　得cos＜·＞== 　　　　　　　　　　　 =． 　　方法二　分别取BB1、AB、B1C1的中点D、E、F，连结DE、DF、EF，则DF∥BC1，DE∥AB1． 　　∴∠EDF就是异面直线AB1与BC1所成的角(或补角)． 　　在△DEF中，DE=，DF=，EF=， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 cos∠EDF= 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 　　∴异面直线AB1与BC1所成的角为arccos．
(2)	方法一　由M、N分别是B1C1、AC的中点，得M(0，，c)、N(，，0)， 　　｜｜= 　　　　　 =． 　　方法二　取BC中点P，连结MP、NP．由直三棱柱的性质得△MNP为直角三角形， 　　∴MN===．
(3)	方法一　过点M作MP⊥BC于点P，则P为BC的中点，连结PN，则∠MNP为MN与底面ABC所成的角．=(，0，－c)，P(0，，0)，=(，0，0)， 　　cos〈，〉= 　　　　　　　　　 = 　　　　　　　　　 = 　　∴MN与底面ABC所成的角为arccos． 　　方法二　由(2)可知，∠MNP就是MN与底面△ABC所成的角，cos∠MNP==∴MN与底面△ABC所成的角为arccs． 　　点评：求异面直线所成角和两点间距离时，用向量法往往更简单．