Question

【题目】某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）估计这100位学生的数学成绩的平均值.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）根据整个年级的数学成绩，可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布经计算，（1）问中样本标准差的近似值为10．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率.

参考数据:若随机变量，则，，

（3）该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中“玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少领取老师相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求的值.（获胜的概率）

Answer 1

【答案】（1）74（2）0.8186（3）见解析，

【解析】

（1）根据频率分布直方图直接结算即可；

（2）由可知，根据参考数据，即可得出的概率；

（3）根据分类加法计数原理可知，构造等比数列可得，

利用累加法求出，即可求解.

（1）

（2）由，所以，

.

（3）小兔子开始在第1格，为必然事件，，

点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为，即，

小兔子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.

①小兔子先跳到第格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为；

②小兔了先跳到第格，乂点一下开始按钮跳了1格，其概率为；

因为，所以.

所以当时，

数列是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，

.

所以获胜的概率.