Question

【题目】已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，

（1）求椭圆C的离心率和焦点坐标；

（2）D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求△BDE外接圆的圆心坐标.

Answer 1

【答案】（1）离心率，焦点坐标为；（2）

【解析】

（1）根据已知设所求椭圆方程为，点坐标代入椭圆方程，求解得到椭圆的标准方程，即可求出离心率和焦点坐标；

（2）设，利用点在椭圆上，将表示为关于的二次函数，求出最大时点坐标；显然椭圆C在点B处的切线l的斜率存在，设出其方程，与椭圆方程联立，利用，求出切线的斜率，进而求出点坐标，利用待定系数法求出△BDE外接圆的一般式方程，即可得出结论.

（1）已知椭圆C关于轴、轴都对称，

设其方程为

由在椭圆上，得，

联立解得，，得椭圆C的方程是.

用依次表示椭圆的长半轴、短半轴、半焦距，

则，，则，，.

所以，椭圆C的离心率，焦点坐标为

（2）设，则，即，

.

函数在区间上递减，

则取最大时，，此时，

所以，椭圆C上到点最远的点是；

设椭圆C在点处的切线的方程为，

即，与联立消去后整理得，

判别式，

由相切条件得，，

所以椭圆C在点处的切线的方程是，

令得，得切线与轴的交点坐标.

设外接圆的方程为，

由三点都在圆上，

得解得

，，

所以外接圆的圆心坐标是