Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x|，x≤1}\\{（x-1）^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，函数g（x）=$\frac{4}{5}$-f（1-x），则y=f（x）-g（x）零点的个数为4．

Answer 1

分析 求出函数f（1-x）的解析式，推出f（x）-g（x）的表达式，然后求解函数的零点．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x|，x≤1}\\{（x-1）^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，$f（1-x）=\left\{\begin{array}{l}1-|1-x|，x≥0\\{x^2}，x＜0\end{array}\right.$，
则$f（x）+f（1-x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+x+1，x＜0\\ 1，0≤x≤1\\{x^2}-3x+3，x＞1\end{array}\right.$，
令f（x）-g（x）=0，
可得$f（x）+f（1-x）=\frac{4}{5}$，
画出y=f（1-x）+f（x）与y=$\frac{4}{5}$的图象如图所示：
由图可得：y=f（1-x）+f（x）与y=$\frac{4}{5}$有4个交点
故y=f（x）-g（x）有4个零点．
故答案为：4．

点评 本题考查函数的解析式的应用，函数的零点的求法，考查数形结合，转化思想的应用，考查计算能力．