Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）当

OA

•

OB

=28时，求直线l方程．
（Ⅲ）在y轴上是否存在一点C，使

CA

•

CB

是定值，若存在求C坐标并求此时的

CA

•

CB

值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出直线方程，代入圆方程，利用根的判别式大于0，即可求k的取值范围；
（Ⅱ）利用韦达定理，结合向量的数量积公式，列出方程，求出直线的斜率，可得直线l方程；
（Ⅲ）设出C的坐标，利用向量的数量积公式化简，假设

CA

•

CB

是定值，可求C的坐标及此时的

CA

•

CB

值．

解答：解：（Ⅰ）过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2，代入圆方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，…（1分）
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0．　　　①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范围为(-

3

4

，0)．         …（3分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（Ⅰ）知x1+x2=-

4(k-3)

1+k2

，x1x2=

36

1+k2

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=(k2+1)•

36

1+k2

-2k•

4(k-3)

1+k2

+4=28…（5分）
即：36-

8k(k-3)

1+k2

-24=0，
∴4k²+24k+12=0，∴k=-3±

6

…（6分）
又-

3

4

＜k＜0，∴k=-3+

6

故所求直线l：y=(-3+

6

)x+2…（7分）
（Ⅲ）设C（0，a）则

CA • CB =(x1，y1-a)•(x2，y2-a) =x1x2+(y1-a)(y2-a) =(1+k2)x1x2+(2-a)k(x1+x2)+(2-a)2 =(1+k2)• 36 1+k2 +(2-a)k• 4(3-k) 1+k2 +(2-a)2与k无关

…（9分）
则a=2，此时

CA

•

CB

=36…（12分）
故存在点C（0，2）时，

CA

•

CB

是定值=36                  …（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．