Question

已知函数f(x)=

1

x

，把f（x）的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到y=g（x）的图象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）写出g（x）的单调区间，并证明g（x）的单调性（用函数单调性的定义证明）．

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数图象平移的知识，由f(x)=

1

x

得到g（x）的解析式；
（2）用单调性定义证明g（x）在区间（-∞，1），（1，+∞）的单调性，按照取值、作差、判正负、下结论的步骤证明即可．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=

1

x

，f（x）的图象向右平移一个单位，得到y=

1

x-1

的图象，
再向上平移一个单位，得到y=

1

x-1

+1的图象；
∴函数g（x）=

1

x-1

+1=

x

x-1

；
（2）g（x）在区间（-∞，1），（1，+∞）上单调递减，
证明：在（1，+∞）上任取x₁＞x₂，
则g(x1)-g(x2)=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x1(x2-1)-x2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
当x₁＞x₂＞1时，x₂-x₁＜0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递减；
同理可证，g（x）在区间（-∞，1）上单调递减．

点评：本题考查了函数图象平移的知识以及单调性的证明问题，是基础题．