Question

设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ=0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）求出从正方体的八个顶点中任取四个点，共有

C

4 8

=70种情况，当四点共面时，共有12种情况，即可由概率公式求得概率．
（2）四点不共面时，四面体的体积有以下两种情况：①四点在相对面且异面的对角线上；②四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望．

解答： 解：（1）从棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的八个顶点中任取四个点，共有

C

4 8

=70种情况，当四点共面时，共有12种情况，
∴P（ξ=0）=

12

70

=

6

35

．
（2）四点不共面时，四面体的体积有以下两种情况：
①四点在相对面且异面的对角线上，体积为1-4×

1

6

=

1

3

，这样的取法共有2种；
②四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为

1

6

，这样的取法共有70-12-2=56种．
∴ξ的分布列为

ξ	0	1 3	1 6
P	6 35	1 35	28 35

数学期望E（ξ）=

1

3

×

1

35

+

1

6

×

28

35

=

1

7

．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键．