Question

已知实数x，y满足不等式：

x-y+2≥0 1≤x≤2 y≥2

．
（1）求

y

x

的取值范围；
（2）求z=2x-y的最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）设z=

y

x

，则z的几何意义是过原点直线的斜率，利用数形结合即可得到结论；
（2）利用z的几何意义，即可得到结论．

解答： 解：（1）在直角坐标系中作出（x，y）的可行域：
设z=

y

x

，则z的几何意义是可行域内P（x，y）与（0，0）连线的斜率，
由

x=2 y=2

得B（2，2），
由

x=1 x-y+2=0

得

x=1 y=3

，即D（1，3）．
结合图形得：当P位于点B（2，2）时，OB的斜率最小为

2

2

=1，
当P位于点D（1，3）时，OD的斜率最大为

3

1

=3，
即1≤z≤3，
∴求

y

x

的取值范围是[1，3]．
（2）由z=2x-y得y=2x-z，
平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点B（2，2）时，直线y=2x-z的截距最小，
此时z最大，
∴z的最大值为z=2×2-2=2，
故z=2x-y的最大值是2．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．