Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为线段BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则所有正确的命题是

 

．
①当0＜CQ＜

1

2

时，S为四边形；
②当CQ=

1

2

时，S为等腰梯形；
③当CQ=

3

4

时，S与C₁D₁的交点R满足RD₁=

1

3

；
④当

3

4

＜CQ＜1时，S为五边形；
⑤当CQ=1时，S的面积为

3

2

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．

解答： 解：如图，

上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜

1

2

，只需在DD₁上取点M，满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
当CQ=

1

2

时，即Q为CC₁的中点，此时可得PQ∥AD₁，AP=QD1=

12+( 1 2 )2

=

5

2

．
故S为等腰梯形，②正确；
当CQ=

3

4

时，如下图，延长DD₁至N，使D1N=

1

2

，连结AN交A₁D₁于S，
连结QN交C₁D₁于R，连结SR，则AN∥PQ，
由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2．
∴C1R=

1

3

，RD1=

2

3

．
故③不正确；

由③可知，当

3

4

＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍是上图所示的APQRS，为五边形，
故④正确；
当CQ=1时，Q与C₁重合，取A₁D₁的中点F，连结AF，则PC₁∥AF，且PC₁=AF，可知截面APC₁F为菱形，
∴其面积为

1

2

AC1•PF=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

．
∴⑤错误．
∴所有正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，是中档题．