Question

已知实数x，y满足

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

，则z=

2x+y-1

x-1

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，将z化简为则

y+1

x-1

=z-2，利用斜率的几何意义即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
z=

2x+y-1

x-1

=

2(x-1)+y+1

x-1

=2+

y+1

x-1

，
则

y+1

x-1

=z-2，
设k=

y+1

x-1

=z-2，
则k的几何意义为区域内的点P（x，y）到定点D（1，-1）的斜率的取值范围，
由

x= 2 x≤ 2 y

，解得

x= 2 y=1

，即A（

2

，1），
则由图象可知当OD的斜率k_OD=-1，DA的斜率k_DA=

-1-1

1- 2

=

2

2 -1

=2(

2

+1)=2

2

+2，
即DP的斜率的取值范围为k≥k_DA或k≤k_OD，
即k≥2

2

+2或k≤-1，
∵k=z-2，
∴z-2≥2

2

+2或z-2≤-1，
即z≥2

2

+2+2=2

2

+4或z≤1，
即z=

2x+y-1

x-1

的取值范围是（-∞，1]∪[2

2

+4，+∞），
故答案为：（-∞，1]∪[2

2

+4，+∞）．

点评：本题主要考查线性规划的应用，将分式函数转化为斜率的形式是解决本题的关键．